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Objectifs

  1. Implémentation d’un système du 2nd ordre: y(n)=> {x(n-1), y(n-1), y(n-2)}
  2. Définition de la fonction Sys2()
  3. La réponse indicielle d’un système en 2nd ordre
  4. Etc.

Paramètre du système du second ordre

#define   Fn      10.00

#define   Zeta    0.2

#define   K       1.0

#define   T_ms    10  // 100 Hz

Paramètres de l’échelon

#define   A_step  5.0 // Amplitude

#define   c_step  200  // Période = 2*c_step*T_ms

Génération de l’entrée x(n) d’amplitude A_step

  c++; c=c%c_step;

  if(!c)

  {

    Step=!Step;

    c=0;

  }

  x_nn=A_step*(double)Step;

Calcul de la sortie

  y_nn=Sys2(x_nn, 0.1, Wn, K, T_s);

Affichage de l’entrée x(n) et la sortie y(n)

  Serial.print(x_nn); Serial.print(",");

  Serial.println(y_nn); 

La fonction Sys2()

La fonction Sys2() permet de calculer la sortie y(n) en fonction de l’entrée x(n) d’un système du second ordre ne boucle ouverte. Elle prend en entrée l’échantillon actuel d l’entrée x(n), la coefficient d’amortissement zêta, la pulsation normale wn, le gain statique k et la période d’échantillonnage T en seconde. Puis elle retourne la sortie y(n). Ci-dessous la définition de la fonction.

double Sys2(double x_nn, double zeta, double wn, double k, double T)

{

  // Paramètre du système

  double a1=2.0*zeta/wn;

  double a2=1.0/(wn*wn);




  const double b0=(a1/(2.0*T))+(a2/(T*T));

  const double b1=-2.0*a2/(T*T);

  const double b2=(-1.0*a1/(2.0*T))+(a2/(T*T));

  const double b[3]={b0,b1,b2};




  // Variables de l'entrée et la sortie

  static double y[2];

  static double x;

  double y_nn=0.0;




  // Calcul de la nouvelle sortie

  y_nn= -(y[0]*(1.0+b[1]))-(y[1]*b[2])+(k*x); // y[1]: y(n-2), y[0]: y(n-1)

  y_nn/=b[0];




  // Mise à jour de la sortie

  y[1]=y[0];

  y[0]=y_nn;




  // Mise à jour de l'entrée

  x=x_nn;




  // Renvoie du résultat

  return y_nn;

}

Le programme complet


/*
-------------
- -
x(n) ---------- SYS2 ---------- y(n)
- -
-------------

* 1. Implémentation d'un système du 2nd ordre
* y(n)=> {x(n-1), y(n-1), y(n-2)}
* 2. Définition de la fonction Sys2()
* 3. La réponse indicielle d'un système en 2nd ordre
* 4. Etc.
*
*/


#define Fn 10.00
#define Zeta 0.2
#define K 1.0
#define T_ms 10 // 100 Hz

#define A_step 5.0 // Amplitude
#define c_step 200 // Période = 2*c_step*T_ms

double Wn=2.0*PI*Fn;
double T_s=(double)T_ms/1000.0;
double x_nn=0.0,y_nn=0.0;


// Paramètres de l'échelon
unsigned long c=0; // Compteur (période)
bool Step=false;


void setup()
{
// Port série de la réponse du système
Serial.begin(9600);
}

void loop()
{
// Le signal échelon x(n) => [0, A_step]
c++; c=c%c_step;
if(!c)
{
Step=!Step;
c=0;
}
x_nn=A_step*(double)Step;

// Calcul de la sortie
y_nn=Sys2(x_nn, 0.1, Wn, K, T_s);

// Affichage x(n)/y(n)
Serial.print(x_nn); Serial.print(",");
Serial.println(y_nn);

// Période d'échantillonnage
delay(T_ms);
}



double Sys2(double x_nn, double zeta, double wn, double k, double T)
{
// Paramètre du système
double a1=2.0*zeta/wn;
double a2=1.0/(wn*wn);

const double b0=(a1/(2.0*T))+(a2/(T*T));
const double b1=-2.0*a2/(T*T);
const double b2=(-1.0*a1/(2.0*T))+(a2/(T*T));
const double b[3]={b0,b1,b2};

// Variables de l'entrée et la sortie
static double y[2];
static double x;
double y_nn=0.0;

// Calcul de la nouvelle sortie
y_nn= -(y[0]*(1.0+b[1]))-(y[1]*b[2])+(k*x); // y[1]: y(n-2), y[0]: y(n-1)
y_nn/=b[0];


// Mise à jour de la sortie
y[1]=y[0];
y[0]=y_nn;


// Mise à jour de l'entrée
x=x_nn;

// Renvoie du résultat
return y_nn;
}

Accueil Asservissement avec Arduino

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2 commentaires

JP-SU · 2021-06-02 à 1:26 PM

Bonjour
Très bien ce programme, juste une petite erreur : vous appelez la fonction Sys2 avec 0.1 au lieu de mettre la variable Zeta (qui est définie à 0.2), du coup lorsque l’on change la valeur de Zeta au début du programme pour faire une petite étude paramétrique, cela ne change rien à la sortie.
En tout cas j’aime bien ce que vous faites, merci.

    admin · 2021-06-03 à 9:32 AM

    Merci pour la remarque!

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