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Objectifs

  • Correction d’un système du 2nd ordre en BF
  • Implémentation du correcteur Avance de Phase (AP):
  • Modèle Analogique: C(p)= k*(1+aTp)/(1+Tp)
  • Modèle numérique: y(n)=[alfa*k 2kT -alfa*k]*[x(n) x(n-1) x(n-2)]’ -[2T -beta]*[y(n-1) y(n-2)]’
    y(n)=y(n)/beta
  • Analyse du correcteur Avance de Phase
  • Précision/ Stabilité/ Rapidité du correcteur AP
  • La réponse à un échelon d’un système en 2nd ordre
  • Etc.

La fonction CorrPD_AP()

double CorrPD_AP(double x_nn, double *x_cc, double *y_cc, double a, double t0, double k0, double T)
{
// Variables de l'entrée et la sortie
double y_nn=0.0;

// Paramètres du correcteur
double alfa=a*t0;
double beta=t0;

// Calcul de la nouvelle sortie
// Modèle Analogique: C(p)= k*(1+aTp)/(1+Tp)
// Modèle numérique: y(n)=[alfa*k 2kT -alfa*k]*[x(n) x(n-1) x(n-2)]'
// -[2T -beta]*[y(n-1) y(n-2)]'
// y(n)=y(n)/beta
y_nn=(alfa*k0*x_nn)+(2*k0*T*x_cc[0]) - (alfa*k0*x_cc[1]);
y_nn=y_nn- (2*T*y_cc[0]) - (beta*y_cc[1]);
y_nn/=beta;

// Mise à jour de la sortie
y_cc[1]=y_cc[0];
y_cc[0]=y_nn;

// Mise à jour de la sortie
x_cc[1]=x_cc[0];
x_cc[0]=x_nn;

// Renvoie du résultat
return y_nn;
}

Le programme Arduino complet


/*
* 1. Correction d'un système du 2nd ordre en BF
* 2. Implémentation du correcteur Avance de Phase (AP):
* Modèle Analogique: C(p)= k*(1+aTp)/(1+Tp)
* Modèle numérique: y(n)=[alfa*k 2kT -alfa*k]*[x(n) x(n-1) x(n-2)]'
* -[2T -beta]*[y(n-1) y(n-2)]'
* y(n)=y(n)/beta
* 3. Analyse du correcteur Avance de Phase
* 4. Précision/ Stabilité/ Rapidité du correcteur AP
* 5. La réponse à un échelon d'un système en 2nd ordre
* 6. Etc.
*

------------- -------------
x(n) --[-]------ C(p) ---- SYS2 ---------- y(n): Sortie Corrigée
- ------------- ------------- -
- -
---------------------<--------------------
Correcteur PI: C(p)= k*(1+aTp)/(1+Tp)

-------------
x(n) --[-]--------------- SYS2 ---------- y(n): Non Corrigée
- ------------- -
- -
---------------------<--------------------


*/


#define Fn 10.00
#define Zeta 0.05 //0.70710678118
#define K 1.0
#define T_ms 2

#define A_step 10.0 // Amplitude
#define c_step 500 // Période = 2*c_step*T_ms

double Wn=2.0*PI*Fn;
double T_s=(double)T_ms/1000.0;


double x_nn=0.0; // Consigne (entrée)
double y_n[2]; // "0" Non corrigé, "1": Corrigé
double eps_n[2]; // Erreur
double y_capt[2]; // Sortie du capteur
double y_corr[2]; // Sortie du correcteur

// Variables internes des systèmes
double x1[2], y1[3]; // Système Non Corrigé
double x2[2], y2[3]; // Système Corrigé

// Variables internes du correcteur
double x_c[2], y_c[2];

// Paramètres de l'échelon
unsigned long c=0; // Compteur (période)
bool Step=false;


void setup()
{
// Port série de la réponse du système
Serial.begin(19200);
}

void loop()
{
// 1. La consigne (l'entrée) x(n) pour les deux systèmes
c++; c=c%c_step;
if(!c)
{
Step=!Step;
c=0;
}
x_nn=A_step*(double)Step; // Réponse à un échelon x(n)=cte
//x_nn=(double)c; // Réponse à une rampe x(n)=n

// 2. Sortie du capteur: Retour unitaire
y_capt[0]=y_n[0];
y_capt[1]=y_n[1];

// 3. Soustracteur: Calcul de l'erreur eps(n)
eps_n[0]=x_nn-y_capt[0];
eps_n[1]=x_nn-y_capt[1];

// 4.1 Correcteur
y_corr[0]=eps_n[0]; // Système non Corrigé

// 4.2 Correcteur PI: C(p)= k(1+aTp)/(1+Tp)
double k0=5.0;
double phi_m=34.0*PI/180; // 34°
double a=(1.0+sin(phi_m))/(1.0-sin(phi_m)); // a=(1-sin(phi))/(1+sin(phi))
double t0=1.0/(sqrt(a)*(3.0*Wn));

y_corr[1]= CorrPD_AP(eps_n[1], x_c, y_c, a, t0, k0, T_s);

// 5. Calcul de la sortie: Systéme non corrigé
y_n[0]=Sys2All(y_corr[0], x1, y1, Zeta, Wn, K, T_s);

// 5. Calcul de la sortie: Systéme corrigé
y_n[1]=Sys2All(y_corr[1], x2, y2, Zeta, Wn, K, T_s);

// Affichage des signaux
Serial.print(x_nn); Serial.print(",");
Serial.print(y_n[0]); Serial.print(",");
Serial.println(y_n[1]);

// Période d'échantillonnage
delay(T_ms);
}



double Sys2All(double x_nn, double *x, double *y, double zeta, double wn, double k, double T)
{
// Paramètre du système
double a1=2.0*zeta/wn;
double a2=1.0/(wn*wn);

const double b0=(a1/(2.0*T))+(a2/(T*T));
const double b1=-2.0*a2/(T*T);
const double b2=(-1.0*a1/(2.0*T))+(a2/(T*T));
const double b[3]={b0,b1,b2};

// Variables de l'entrée et la sortie
double y_nn=0.0;

// Calcul de la nouvelle sortie
y_nn= -(y[0]*(1.0+b[1]))-(y[1]*b[2])+(k*x[0]); // y[1]: y(n-2), y[0]: y(n-1)
y_nn/=b[0];

// Mise à jour de la sortie
y[1]=y[0];
y[0]=y_nn;

// Mise à jour de la sortie
x[0]=x_nn;

// Renvoie du résultat
return y_nn;
}

double CorrPI(double x_nn, double *xpi, double *ypi, double kp, double ki, double T)
{
// Variables de l'entrée et la sortie
double y_nn=0.0;

// Calcul de la nouvelle sortie
y_nn=ypi[1] + kp*x_nn + (2.0*T*ki)*xpi[0] -kp*xpi[1];
// y(n)=y(n-2)+ k1*x(n) + 2*T*k2*x(n-1) - k1*x(n-2)

// Mise à jour de la sortie
ypi[1]=ypi[0];
ypi[0]=y_nn;

// Mise à jour de la sortie
xpi[1]=xpi[0];
xpi[0]=x_nn;

// Renvoie du résultat
return y_nn;
}

double CorrPD_AP(double x_nn, double *x_cc, double *y_cc, double a, double t0, double k0, double T)
{
// Variables de l'entrée et la sortie
double y_nn=0.0;

// Paramètres du correcteur
double alfa=a*t0;
double beta=t0;

// Calcul de la nouvelle sortie
// Modèle Analogique: C(p)= k*(1+aTp)/(1+Tp)
// Modèle numérique: y(n)=[alfa*k 2kT -alfa*k]*[x(n) x(n-1) x(n-2)]'
// -[2T -beta]*[y(n-1) y(n-2)]'
// y(n)=y(n)/beta
y_nn=(alfa*k0*x_nn)+(2*k0*T*x_cc[0]) - (alfa*k0*x_cc[1]);
y_nn=y_nn- (2*T*y_cc[0]) - (beta*y_cc[1]);
y_nn/=beta;

// Mise à jour de la sortie
y_cc[1]=y_cc[0];
y_cc[0]=y_nn;

// Mise à jour de la sortie
x_cc[1]=x_cc[0];
x_cc[0]=x_nn;

// Renvoie du résultat
return y_nn;
}

Références des cours

Accueil Asservissement avec Arduino

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