Les objectifs du projet

1. Se familiariser avec le codage en virgule fixe
2. Choix de la position de la virgule (précision)
3. Choix de nombre des bits
4. Opérations sur les données en virgule fixe
5. Implémentation d’une équation en virgule fixe
6. Savoir la relation entre la distance, température pour un capteur ultrasonique

 Le codage en virgule Fixe

En informatique, une représentation d’un nombre en virgule fixe est un type de donnée correspondant à un nombre qui possède (en base deux ou en base dix) un nombre fixe de chiffres après la virgule. Les nombres en virgule fixe sont utiles pour représenter des quantités fractionnaires dans un format utilisant le complément à deux quand le processeur de l’ordinateur n’a aucune unité de calcul en virgule flottante ou quand une virgule fixe permet d’augmenter la vitesse d’exécution ou d’améliorer l’exactitude des calculs. La plupart des processeurs à faible coût (ex. : microcontrôleurs) ne disposent pas d’unité de calcul en virgule flottante.

Les bits à gauche de la virgule représentent la partie entière du nombre (au sens premier du terme), c’est-à-dire l’entier se trouvant à gauche de la virgule. Chaque bit à droite de la virgule, ou « décimale binaire », correspond à l’inverse d’une puissance de 2 [wikipedia].

Présentation d’un nombre en virgule fixe en format Qn

n : le nombre des bits nécessaires pour le codage de la partie fractionnelle

m : le nombre des bits nécessaires pour le codage de la partie entière

Voir les liens des cours en bas pour plus des renseignements.

Règles de l’arithmétique en virgule fixe :

Calcul de la résolution binaire en fonction de la résolution décimale

On considère D la résolution décimale d’un nombre décimal (Ex : 10^-3 pour D=3) et n la résolution binaire d’un nombre binaire (Ex : 2^-3 pour n=3)

Exemple

x = 10.12

x = 10 + 0.12 = x_m + x_n

Codage de 10 (x_m) : 10 = (1100)₂, m=4 bits

Codage de 0.12 (x_n) : D’après la relation ci-dessus 0.12*10²=12 (valeur entière, D=2)

On prend alors n>=3.32*2 = 6.64 = 7 bits, n=7 bits

X_n = Round (0.12*2^7) =Round (15.36) =15 = (0001101)₂

La présentation binaire du nombre x= 10.12 sous le format Q7 sur 10 bits est la suivante :

X = 1100,0001101

Alors la largeur non signé de la donnée doit être codée sur 4+7 = 11 bits ou 12 bits pour un nombre signé, la position de la virgule se trouve entre le bit 7 et le bit 8 (virgule virtuelle)

Cours : IRISA & IUT REIMS & ENS LYON

La distance en fonction de la température

la vitesse du son dans l’air augmente quand la température augmente. C_air = (331,5 + 0,6·T_emp) ; T_emp température en Celcius

C_air = (331,5 + 0,6·T_emp)

• Cours sur la propation des ondes : Lien 1 & Lien 2

La distance entre l’émetteur et le récepteur d est égale à V*t/2, avec V la vitesse de propagation de l’onde dans l’air et t le temps du trajet aller/Retour entre l’emetteur et le recepteur. Alors :

d = V*t/2 = C_air *t/2= t*(331,5 + 0,6*T_emp)/2

d(m) =  t*(165.75 + 0,3*T_emp)

d(m) =  (N*t0)*(165.75 + 0,3*T_emp)

d(m) =  N*(165.75 + 0,3*T_emp)*83.3333.10^-9

d(m) =  N*(13.8125+ 0.025*T_emp)*10^-6

d(mm) =  N*(13.8125*10^-3+ 0.025*10^-3*T_emp)

d(mm)=N*(K₀ + K₁*T_emp)

 

• t0=1/f0=83.33ns pour f0=12 MHz
• N le valeur du compteur sur 24 bits
• T_emp température entre 0° et 100° sur 8 bits
• K₀ = 13.8125*10^-3
• K₁ = 0.025*10^-3

Codage en virgule fixe des constantes K₀ et K₁

•  K0 =13.8125*10^-3 = 0.0138124

La partie entière est codée sur 0 bits. On respectant la formule n_k0 = D*3.322 on obtient (pour D=3)  n = 3*3.322 = 9.966. On prend n_k0=10 bits

(k₀)₂= Round(k₀*2¹⁰)=(14)₂ = (.0000001110)₂

•  K1=0.025*10^-3=25*10^-5

La partie entière est codée sur 0 bits. On respectant la formule n_k1= D*3.322 on obtient (pour D=5)  n = 5*3.322 =16.61. On prend n_k0=17 bits

(k₁)₂= Round(k₁*2¹⁷)=Round(32.768) = (33)₂ = (.00000000000100001)₂

Remarque : Tous les bits des constanctes k₀ et K1 sont consacrés à la partie fractionnelle (0<k0<1 et 0<k1<1)

• K₀(m,n) = (0,10), la longeur de la constante K₀ est égale à m+n = 10 bits,  format en virgule fixe (voir la séction ci-dessus)
• K₁(m,n) = (0,17), la longeur de la constante K₁ est égale à m+n = 17 bits

Codage de la valeur de la température

La température Temp est codé sur 8 bits, la valeur de la température variée entre 0°C et 100 °C. Afin de convertir la valeur binaire en température il suffit d’appliquer la règle de trois ! 0 pour 0 °C et 255 (8 bits)  pour 100 °C.

T_emp(°C) = T_emp * 100/255

T_emp(°C) = T_emp * 0.3922

T_emp(°C) = T_emp2 * K_temp

== > d(mm)=N*(K₀ + K₁*T_emp2 * K_temp) (1)

•  K_temp=0.3922 =39.22*10^_-2
  

La partie entière est codée sur 0 bits. On respectant la formule n_ktemp= D*3.322 on obtient (pour D=2)  n =2*3.322 =6.64. On prend n_temp=7 bits

(k_temp)₂= Round(k_temp*2⁷)=Round(50.2016) = (50)₂ = (.0110010)₂

Conclucion

Codage des variables et constantes sur le format Q(m,n) avec n le nombre des bits de la partie entière, et m le nombre des bits de la partie fractionnelle. m+n est le nombre des bits total de la variable.

• T_emp2  : (8,0), Taille 8 bits [8+0]

• K_{temp  : (0,7)}, Taille 7 bits
  

• K₀   : (0,10), Taille 10 bits 

• K_{1  :} (0,17), Taille 17 bits 

• N :  (24,0), Taille 24 bits
  

• K_t : (0,20) (voir la formule 2), Taille 20 bits
  

On peut simplifie la formule (1) de la distance on remplaçant K_temp*K₁ par K_t = K_temp*K₁

d(mm)=N*(K₀ + T_emp2 * K_t) (2)

•  K_t=K_temp*K₁ = (100/255)*0.025*10^-3 =9.8*10^-6
  

La partie entière est codée sur 0 bits. On respectant la formule n_kt= D*3.322 on obtient (pour D=6)  n =6*3.322 =19.9. On prend n_kt=20 bits

(k_t)₂= Round(k_t*2²⁰)=Round(10.27) = (10)₂ = (.00000000000000001010)₂

Pour optimiser la longueur de K_t, on peut intégrer la fonction K_temp sur l’Arduino, au lieu de transmettre la valeur brut sur 8 bits, on transmit la valeur de la température [0-100] (après multiplicateur par 100/255 et arrondi de la valeur finale).

Determination de la taille de la variable d (distance) en mm [Formule 2]… A venir 🙂