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Titre: Cours de traitement du signal, Signaux Déterministes (TS1) et Signaux Aléatoires (TS2)

Auteurs: Serge DOS SANTOS

Ecole: Institut National des Sciences Appliquées, Centre Val de Loire – Blois – Bourges

Résumé:

Présentation L’Élément Constitutif (EC) « Traitement du signal 1 (TS1) » fait partie de l’Unité d’Enseignement (UE) « Génie Électrique 6 » de la 3ème année du département Génie des Systèmes Industriels (GSI). L’enseignement est dispensé en 3ème année au cours du deuxième semestre, et concerne la partie « Signaux Déterministes ». L’Élément Constitutif (EC) « Traitement du signal 2 (TS2) » fait partie de l’Unité d’Enseignement (UE) « Génie Électrique 8 » de la 4ème année du département Génie des Systèmes Industriels (GSI). L’enseignement est dispensé en 4ème année au cours du premier semestre, et concerne la partie « Signaux Aléatoires ». Les enseignements sont dispensés par :

– Serge DOS SANTOS (SDS) – (Responsable de l’EC), Maître de Conférences (HDR) à l’INSA Centre Val de Loire, Membre du bureau exécutif de l’Académie Internationale de Contrôle Non Destructif, Chercheur au sein de l’U390 Inserm « Imagerie et Cerveau », Bureau D04, Email : , serge.dossantos@insa-cvl.fr

– Marouen STA (MS) – Doctorant à l’Inserm, Email : marouen.sta@etu.univ-tours.fr

– Martin Lints (ML) : Doctorant à l’Inserm et à l’Université de Tallinn ; martin.lints@insa-cvl.fr Contenu de l’enseignement Compte tenu du faible nombre d’heures consacré à cet enseignement, seule une introduction au Traitement du Signal Déterministe (TS1) et Aléatoire (TS2) sera proposée.

L’enseignement TS1 comprend
– 8 heures de cours « signaux déterministes » (SDS)
– 10 heures de TD « signaux déterministes » (Exercises could be given in English) dont 4 sous Matlab
(SDS, MS, ML)
– 4 heures de TP (salle D01)(Practical projects could be given in English) « Mesures temporelles et spectrales des signaux » (SDS, VJ)

Extrait du sommaire:

I Introduction à la Théorie du Signal 15
1 Quelques définitions 17
1.1 Définitions de base 17
1.2 Classification des signaux 19
1.3 Interpretation des signaux 21
II Signaux Déterministes 23
2 Théorie des distributions 25
2.1 Position du problème 25
2.1.1 Problème de la charge ponctuelle 25
2.1.2 Problème de la charge d’un condensateur 26
2.2 Les distributions 28
2.2.1 Propriétés essentielles des distributions 28
2.2.2 Convolution des distributions 30
2.3 Transformations de Laplace et Fourier des distributions 32
2.3.1 Transformations de Laplace 32
2.3.2 Transformations de Fourier (TF) des distributions 32
3 Les signaux certains ou déterministes 39
3.1 Introduction 39
3.2 Définitions-Exemples 40
3.3 Espace de Hilbert des signaux 40
3.4 Bases continues 40
3.5 Egalité de Parseval-Plancherel 41
4 Propriétés énergétiques et spectrales des signaux 43
4.1 Définition des grandeurs énergétiques 43
4.1.1 Énergie et puissance physique 43
4.1.2 Définition des différentes puissances d’un signal 44
4.1.3 Définition des différentes énergies d’un signal 44
4.1.4 Définition des différentes énergies d’interaction entre deux signaux 44
4.2 Spectres des signaux 45
4.2.1 La Transformée de Fourier (TF) 45
4.2.2 Classification fréquentielle et temporelle des signaux 46
4.2.3 Les signaux à énergie finie 48
4.2.4 Les signaux à puissance moyenne finie 50
4.2.5 Cas particulier des signaux périodiques 50
5 Échantillonnage 53
5.1 Représentation d’un signal échantillonné idéal 54
5.2 Fréquence de Nyquist et critère de Shannon 55
5.3 Interpolation de Lagrange et théorème de Shannon 55
5.4 Exemples d’échantillonneurs 56
5.4.1 Echantillonneurs moyenneurs 56
6 Signaux numériques 59
6.1 Définitions 59
6.2 Comparaison numérique analogique 60
6.2.1 Intégrale et moyenne 60
6.2.2 Convolution et corrélation 60
6.2.3 Signaux particuliers 60
6.3 Algorithmes de Transformée de Fourier : TFD, FFT 61
6.3.1 Transformation de Fourier Discrète (TFD) 61
6.3.2 Propriétés et généralités sur la FFT 63
6.3.3 Propriétés de la TFD ou de la FFT 64
6.3.4 Défauts de la TFD 64
6.3.5 Comment éviter les défauts de la TFD 66
6.3.6 Notion de pondération – Fenêtrage 67
7 Les systèmes linéaires – Filtres 71
7.1 Définitions : linéarité, stationnarité 71
7.2 Représentations d’un système linéaire 72
7.2.1 Qu’est-ce qu’une représentation? 72
7.2.2 Définition mathématique de la représentation 73
7.2.3 Représentation temporelle des systèmes linéaires 74
7.2.4 Représentation fréquentielle des systèmes linéaires 74
7.3 Détermination du gain complexe 75
7.3.1 Vecteurs propres de l’opération de convolution 75
7.3.2 Interprétation du gain complexe 76
7.4 Les filtres 76
7.4.1 Les filtres physiquement réalisables 76
7.4.2 Causalité 77
7.4.3 Stabilité 77
7.5 Exemples importants des systèmes linéaires 77
7.5.1 Amplificateur idéal 77
7.5.2 Ligne à retard idéale 78
7.5.3 Filtre passe-bande idéal 78
7.5.4 Filtre passe-bas idéal 78
7.5.5 Filtres intégrateurs et dérivateurs 79
III Signaux Aléatoires 81
8 Rappels de statistique nécessaire au traitement des signaux 83
8.1 Variables aléatoires – Moments – Fonctions caractéristiques 83
8.1.1 Fonction caractéristique 85
8.2 Cas des variables aléatoires continues 86
8.2.1 Fonction de répartition 86
8.2.2 Densité de probabilité 86
8.2.3 Moments d’ordre n 87
8.2.4 Fonction caractéristique 87
8.3 Lois de probabilité 87
8.3.1 Loi uniforme continue 87
8.3.2 Loi binomiale discrète 88
8.3.3 Loi de Poisson 88
8.4 Cas particulier des processus gaussiens 88
8.4.1 Covariance statistique de deux variables aléatoires 90
9 Description statistique des signaux aléatoires 93
9.1 Qu’est ce qu’un signal aléatoire ? 93
9.1.1 Signal aléatoire complexe 94
9.2 Moyenne et Variance de signaux aléatoires 94
9.2.1 Définition 94
9.2.2 Signification physique – Exemples 94
9.3 Stationnarité 95
9.4 Caractérisation temporelle des propriétés statistiques des signaux aléatoires 95
9.4.1 Fonction de covariance temporelle 96
9.5 Fonction de corrélation ou d’autocorrélation 96
9.5.1 Propriétés de la fonction d’autocorrélation 96
9.6 Fonction de variables aléatoires 98
9.6.1 Cas particulier de variables indépendantes 98
9.6.2 Intercorrélation de deux signaux 99
9.7 Ergodicité 99
10 Énergie et puissance des signaux aléatoires 103
10.1 Exemples physiques 103
10.2 Définitions 103
10.3 Cas des signaux complexes 104
10.4 Énergie et puissance des signaux aléatoires dans le domaine spectral 106
10.5 Densité spectrale de puissance (DSP) ou spectre de puissance 106
11 Serge Dos Santos
INSA CVL 3A et 4A Cours de Traitement du Signal Année 2015-2016
10.6 Théorème deWiener-Kinchine 107
10.6.1 Cas général du théorème deWiener-Kinchine : élément de démonstration 108
10.7 Corrélation et largeur de bande spectrale 109
11 Exemples de signaux aléatoires 111
11.1 Bruit blanc – Bruit de marche aléatoire 111
11.1.1 Bruit blanc 111
11.1.2 Bruit de marche aléatoire 112
11.2 Exemples de Densité Spectrale de Puissance 113
11.3 Signal aléatoire binaire (codage NRZ) 114
11.4 Signal pseudo-aléatoire – Générateur de signaux aléatoires 115
11.4.1 Réalisation électronique du générateur de signaux pseudo-aléatoires 116
12 Notions de bruit et fluctuations 119
12.1 Bruit thermique – Origine Physique -Formule de Nyquist 120
12.1.1 Expérience 120
12.1.2 Formule de Nyquist 121
12.2 Autres types de bruits – Bruit en 1/ f 122
12.3 Rapport Signal sur Bruit 122
12.3.1 Définition 123
12.3.2 Exemple de SNR à la sortie d’un montage 123
13 Applications de l’analyse spectrale 125
13.1 Détection d’un signal périodique 126
13.1.1 Principe 126
13.1.2 Calcul du SNR 126
13.2 Détection d’un signal de période connue 128
13.2.1 Calcul du rapport signal sur bruit 128
13.3 Extraction d’un signal périodique par moyennage 129
13.4 Mesure de décalage temporel de deux signaux 130
13.4.1 Méthode 1 : l’intercorrélation 130
13.4.2 Méthode 2 : l’interspectre 130

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