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Titre: Fourier, Laplace, Distributions et Applications

Auteurs: Yves GERARD

Ecole: Math4-SPI

Résumé: Voir le document

Extrait du sommaire:

1 Filtre et convolution 4
1.1 H Fonction d’Heaviside (1850-1925) 4
1.2 Exemple Filtre RC 4
1.2.1 Exercice 5
1.3 L1(R;C) 5
1.3.1 Remarques et rappels sur l’intégration 5
1.3.2 Intégration de fonction continue et primitive 5
1.3.3 Fonctions C0 par morceaux 5
1.3.4 Intégrale d’une application continue par morceaux sur segment et à valeurs dans R 6
1.3.5 Intégrale d’une application continue sur segment et à
valeurs dans R+ [ f1g 6
1.3.6 Cpm 8
1.3.7 L1(I;C) 10
1.3.8 Principaux théorèmes dans Cpm 10
1.4 L1(R;C) 13
1.4.1 L1 13
1.5 Convolution et Filtre 14
1.5.1 Convolution dans L1(R) 14
1.5.2 RC et Filtre 14
1.5.3 Filtre général 15
1.6 Autres opérateurs. Notations 15
1.6.1 D 15
1.6.2 Opérateur de symétrie 15
1.6.3 hr opérateur d’homothétie 16
1.6.4 [:] opérateur de multiplication 16
1.6.5 Exercice 16
2 Transformation de Fourier 17
2.1 Rappel: approximation par séries de Fourier 17
2.2 Transformation de Fourier 17
2.3 Application au Filtre RC 18
2.4 Convolution et Fourier 18
2.5 Transmittance d’un Filtre 19
2.6 Formulaire 19
2.7 Fourier en dimension n 22
2.7.1 Définitions 22
2.7.2 Exercice 23
3 Transformation de Laplace 24
3.1 Causalité 24
3.2 Laplace 24
3.3 Laplace et dérivation 25
3.3.2 D L 26
3.4 Composition 26
3.5 Convolution 26
3.6 L(tnH) 26
3.7 L(Hect) 27
3.7.4 27
4 Distribution, dérivation et convolution 28
4.1 Impulsion unité et Dirac 28
4.2 Distribution 29
4.2.1 D; L1l
oc(R;C) 29
4.2.2 Exercice 29
4.2.3 D0 30
4.3 Dirac et Distribution 30
4.4 Extension de la convolution 31
4.5 Dérivation et convolution 33
4.5.1 Définition 33
4.5.2 DH 33
4.5.3 0 et dérivation 33
4.5.4 Application à RC 33
4.5.5 D(H:f ) 34
4.5.6 RC et conditions initiales 35
4.5.7 D(f:T ) 35
4.6 a 35
4.7 a(T) 36

Mathématique appliquée cours 19
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