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Titre: Initiation au traitement du signal et applications

Auteurs: Frédéric SUR

Ecole: École des Mines de Nancy

Résumé: Ce document est le support du cours électif CET042 Initiation au traitement du signal et applications donné en deuxième année à l’École des Mines de Nancy. Il contient les preuves des théorèmes énoncés pendant les séances, ainsi que divers compléments et des éléments de correction pour certains travaux pratiques. On distingue généralement traitement du signal analogique (chapitre 1) et traitement du signal numérique (ou digital par anglicisme, chapitre 2). Le premier tient du génie électrique et nécessite résistances, bobines, condensateurs, transistors, etc., tandis que le second s’opère par des programmes informatiques sur des ordinateurs ou des puces dédiées (DSP, Digital Signal Processor).

Comme on le verra, un outil très puissant pour étudier les signaux analogiques est la transformée de Fourier ou les développements en séries de Fourier pour les signaux périodiques, et le pendant numérique est la transformée de Fourier discrète. Si le traitement du signal numérique explose depuis quelques décennies, c’est moins grâce à la puissance croissance des puces informatiques que grâce à un algorithme, (re-) découvert dans les années 1960, qui permet de calculer de manière efficace la transformée de Fourier discrète. Il s’agit de l’algorithme très célèbre de la transformée de Fourier rapide (ou FFT, Fast Fourier Transform). Dans ce cours on s’intéressera essentiellement aux signaux numériques, et les différents résultats seront illustrés par des travaux pratiques sous le logiciel MATLAB. Néanmoins, on ne peut pas pour autant passer sous silence la théorie des signaux analogiques, pour au moins deux raisons.

La première est que bon nombre de signaux sont, par essence, analogiques. C’est par exemple le cas des ondes lumineuses (ondes électromagnétiques) ou des ondes sonores (ondes de compressions mécaniques), qui prennent des valeurs évoluant continûment au cours du temps. Pour les représenter sous forme d’un signal numérique, il faut être capable de sélectionner certains instants en lesquels on mesure une grandeur physique associée à l’onde (c’est ce qu’on appelle la discrétisation temporelle) et de représenter la valeur mesurée avec un nombre fini de bits (c’est ce qu’on appelle la quantification).

Ce problème de conversion de la représentation analogique vers la représentation numérique (ainsi que le problème inverse) est l’objet de la théorie de l’échantillonnage (chapitre 6). La seconde raison est évoquée dans le livre de Stéphane Mallat (cf bibliographie 9 page 109) : on ne dispose pas de « bonne théorie » pour estimer la régularité des signaux numériques. Or, on peut par exemple démontrer qu’un signal (analogique) est représenté de manière d’autant plus compacte par sa transformée de Fourier qu’il est régulier (c’est-à-dire de classe Ck, avec k augmentant). C’est cet argument qui justifie la compression avec perte des signaux numériques par des algorithmes comme JPEG ou MP3 (chapitre 5). Auparavant, nous introduirons la compression sans perte toujours associée à la compression avec perte car elle ne coûte (quasiment) rien et, comme son nom l’indique, ne détériore pas le signal original (chapitre 4). Elle est basée sur la théorie statistique de l’information initiée par Claude Shannon dans les années 1940-1950.

Nous donnerons également des applications des différents concepts à deux classes de signaux : les sons et les images. Nous présenterons quelques éléments introductifs à la restauration des images dégradées (chapitre 3) et illustrerons la théorie de l’échantillonnage par des problèmes de sous et sur-échantillonnage (chapitre 7). Nous traiterons également de l’analyse temps-fréquence qui intervient de manière centrale dans les problèmes pratiques d’analyse des signaux « non stationnaires » dont les propriétés changent au cours du temps (chapitre 8). Des notes biographiques figurent au chapitre 9. Historique des versions de ces notes de cours :

– v 0.4 : février 2012 (111 pages).
– v 0.3 : février 2010 (111 pages).
– v 0.2 : septembre 2009 (85 pages).
– v 0.1 : février 2009 (30 pages).

Extrait du sommaire:

Notations 7
Avant-propos 9
1 Signaux analogiques et filtres associés 11
1.1 Les filtres analogiques 11
1.2 Exemple : filtre passe-bas R,C 12
1.3 Signaux analogiques 14
1.3.1 Rappels et premières propriétés 14
1.3.2 Décomposition d’un signal périodique, coefficients de Fourier 16
1.3.3 Propriétés des coefficients de Fourier 17
1.3.4 Convergence des séries de Fourier 19
1.4 Convolution des signaux analogiques périodiques 21
2 Signaux numériques et filtres associés 27
2.1 Signaux numériques 27
2.1.1 La Transformée de Fourier Discrète 29
2.1.2 Transformée de Fourier Rapide 31
2.1.3 La transformée de Fourier 2D 33
2.2 Filtres numériques 34
2.2.1 Définitions 34
2.2.2 Transformée en z 35
2.2.3 Transformée en z des filtres FIR et IIR 35
2.3 Signaux numériques en pratique 36
2.3.1 Analyse d’une note de musique 36
2.3.2 Interprétation des images dans le domaine fréquentiel 37
3 Introduction à la restauration des images 47
3.1 Modèles linéaires de dégradation des images 47
3.2 Déconvolution directe 50
3.3 Restauration par filtre de Wiener 51
3.4 Restauration par l’algorithme de Richardson-Lucy 54
4 Compression numérique sans perte 59
4.1 Hypothèse et notations 59
4.2 Codes préfixes 60
4.3 Théorie de l’information de Shannon 61
4.4 Codage de Huffman 65
4.5 Exemple 66
4.6 Autres algorithmes de compression 67
4.6.1 Run-length encoding (RLE) 67
4.6.2 Codage arithmétique (1976) 67
4.6.3 Codage de Lempel-Ziv-Welch (1984) 68
5 Compression numérique avec perte 71
5.1 Décroissance des coefficients de Fourier 71
5.2 Effet de Gibbs 73
5.3 Transformée discrète en cosinus 75
5.4 Quantification 77
5.5 Compression MP3 et JPEG 77
5.5.1 Compression MP3 77
5.5.2 Compression JPEG 77
6 Théorie de l’échantillonnage 79
6.1 Rappels de théorie des distributions 79
6.2 Formule de Poisson 80
6.3 Théorème d’échantillonnage de Shannon-Nyquist 82
6.4 Recouvrement de spectre ou aliasing 83
6.5 Retour à la transformée de Fourier discrète 83
7 Illustration : sous et sur-échantillonnage 85
7.1 Sur-échantillonnage par zero padding 85
7.2 Sous-échantillonnage 88
7.2.1 Méthode 1 : décimation brutale 88
7.2.2 Méthode 2 : filtrage passe-bas idéal 89
7.2.3 Méthode 3 : filtrage passe-bas Butterworth 89
8 Analyse temps-fréquence 97
8.1 Principe d’incertitude 97
8.2 Transformée de Fourier à fenêtres 99
8.3 Illustration du principe d’incertitude 100
8.4 Analyse d’un « chirp » 100
9 Bestiaire 105
Bibliographie 109

Formation-Traitement-du-signal-cours 8

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