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Titre: Mathématiques pour la Physique

Auteurs: Bahram Houchmandzadeh

Ecole: univ-grenoble-alpes.fr

Résumé: Durant les deux premières années à l’université, on apprend les bases essentielles des mathématiques : calcul différentiel et intégral, algèbre linéaire, équations différentielles linéaires, etc. L’objet de ce cours est d’utiliser ce corpus pour introduire les méthodes mathématiques dites supérieures utilisées pour résoudre les problèmes classiques de la physique. Les mathématiques ne sont pas une collection de méthodes juxtaposées et sans relation : il existe des concepts extrêmement généraux qui nous permettent de porter le même regard sur des notions a priori disparates. Le concept qui reviendra tout au long de ce cours est celui de l’espace vectoriel. Ainsi, tourner un vecteur du plan d’un angle quelconque ou appliquer un opérateur intégrodifférentiel à une fonction sont fondamentalement la même chose ; de même que trouver les valeurs propres d’une matrice ou résoudre une équation à dérivée partielle linéaire. C’est bien pour cela que l’étudiant apprend un tel volume d’algèbre linéaire dans les cours de mathématiques élémentaires.

Le plan du cours est le suivant : Après une introduction (un rappel) des espaces vectoriels, nous verrons que les fonctions elles mêmes peuvent être considérées comme des points (des vecteurs) dans un grand espace des fonctions, et que nous pouvons définir des bases orthogonales dans cet espace presque comme on le fait dans l’espace tridimensionnel. Le chapitre suivant est consacré aux séries de Fourier, le premier exemple pratique que nous verrons de bases dénombrables dans l’espace des fonctions sur un intervalle ni. Nous verrons entre autre comment cette base nous permet de résoudre les équations classiques de la physique comme celle de diffusion de la chaleur ou des cordes vibrantes.

Nous avons souvent affaire à des fonctions définies sur des intervalles infinis. Les transformées de Fourier nous permettent de disposer de bases pour l’espace de ces fonctions. Comme souvent cependant, les infinis posent des problèmes particuliers et nous auront alors à définir les distributions, une généralisation des fonctions qui introduit en mathématique le concept de charge (ou force) ponctuelle si cher aux physiciens. Nous verrons alors le nombre incroyable de problèmes que ces nouvelles méthodes nous permettent d’aborder : de la résolution des équations différentielles à celle d’équations stochastiques (comme le mouvement brownien) en passant par la diffraction par les cristaux etc.

Extrait du sommaire:

1 Introduction 8
2 Éléments d’analyse fonctionnelle. 10
2.1 Les espaces vectoriels. 10
2.2 L’espace vectoriel des fonctions. 14
2.3 Quelques digressions historiques. 18
3 Les séries de Fourier. 19
3.1 Introduction. 19
3.2 Les séries de Fourier. 20
3.3 Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes ? 24
3.4 Un peu de généralisation. 25
3.5 Les séries de sinus et de cosinus. 26
3.6 Dérivation terme à terme des séries de Fourier. 28
3.7 Vibration d’une corde. 30
3.8 Équation de la chaleur. 31
3.9 Problèmes avancés. 34
4 Les transformations de Fourier. 43
4.1 Entrée en matière. 43
4.2 Les opérations sur les TF. 45
4.3 Transformée de Fourier Rapide. 46
4.4 Manipulation et utilisation des TF. 46
4.5 Relation entre les séries et les transformés de Fourier. 51
4.6 Approfondissement : TF à plusieurs dimensions. 51
5 Les distributions. 54
5.1 Ce qu’il faut savoir. 54
5.2 Un peu de décence. 56
5.3 Manipulation et utilisation des distributions. 59
5.4 Les distributions et les conditions initiales des équations différentielles. 64
5.5 Exercices 66
5.6 Problèmes. 67
6 Convolution et corrélation. 70
6.1 Les convolutions. 70
6.2 Auto-corrélation. 73
6.3 Relation entre l’équation de diffusion et les convolutions. 74
6.4 Problèmes avancés. 75
6.5 Exercices. 78
6.6 Problèmes. 79
7 Les transformées de Laplace. 82
7.1 Entrée en matière. 82
7.2 Opérations sur les TL. 83
7.3 Décomposition en fraction simple. 85
7.4 Comportement asymptotique. 87
7.5 Produit de Convolution. 90
7.6 Aperçu des équations intégrales. 90
7.7 Aperçu des systèmes de contrôle asservis (feedback systems). 91
7.8 La physique statistique. 93
7.9 TL inverse. 94
8 Les fonctions de Green. 101
8.1 Entrée en matière 101
8.2 Généralisation. 103
8.3 Le potentiel électrostatique. 105
8.4 La propagation des ondes 106
8.5 Disposer d’une base propre. 108
8.6 Propagateur pour l’équation de Schrödinger. 109
9 Calcul des perturbations. 110
9.1 Les perturbations régulières. 110
9.2 Les perturbations singulières. 114
10 Les opérateurs linéaires. 122
10.1 Introduction 122
10.2 L’algèbre des opérateurs. 124
10.3 Représentation matricielle des opérateurs. 129
10.4 Valeurs et vecteurs propres. 132
10.5 Disposer d’une base propre orthogonale. 133
10.6 Opérateurs hermitiens. 136
10.7 Méthodes opératorielles, algèbre de Lie. 137
11 Les systèmes de Sturm-Liouville. 145
11.1 Introduction. 145
11.2 Reformulation opératorielle. 149
11.3 Détour : la mécanique quantique ou pourquoi les valeurs propres ont
pris tant d’importance. 153
11.4 Les systèmes de Sturm-Liouville. 155
11.5 Les solutions polynomiales de Sturm-Liouville. 157
11.6 Valeurs et fonctions propres. 160
11.7 La seconde solution : Le Wronskien. 161
11.8 Les solutions non-polynomiales. 162
11.9 Exercices. 162
12 Le calcul variationnel 164
12.1 Introduction. 164
12.2 Calcul des variations. 165
12.3 Plusieurs degrés de libertés. 169
12.4 Formulation lagrangienne et équation du mouvement d’un champ. 172
12.5 Optimisation sous contraintes. 175
12.6 Les conditions aux bords “naturelles” 1. 181
12.7 Les conditions aux bords naturelles 2. 183
12.8 Détour : éléments de géométries non-euclidiennes. 185
13 Les opérateurs démentiels. 192
13.1 Métrique et Système de coordonnées. 192
13.2 Nabla, div et les autres. 194
13.3 Le gradient. 194
13.4 Champ de vecteurs. 195
13.5 Le rotationnel. 197
13.6 La divergence. 200
13.7 Le Laplacien. 201
13.8 Résumons. 203
13.9 Notes. 205
14 Les tenseurs en physique. 206
14.1 Les tenseurs de rang 2. 206
14.2 Généralisation des tenseurs. 209
14.3 Les composantes d’un tenseur. 210
14.4 Changement de base. 212
14.5 Le produit scalaire généralisé, covariant et contravariant, les formes linéaires 213
15 Équation à dérivée partielle du premier ordre. 216
15.1 La méthode des caractéristiques. 216
15.2 Interprétation géométrique. 218
15.3 Généralisation. 221
16 Les formes démentielles et la dérivation extérieure. 223
16.1 Introduction. 223
16.2 Les 1 formes. 224
16.3 Intégration des 1-formes. 225
16.4 les n formes et les n vecteurs. 226
16.5 L’intégration des k formes. 227
16.6 La dérivation extérieure. 229
16.7 Théorème de Stockes. 234
16.8 Intégration par partie. 235
16.9 Un peu de géométrie : vecteurs, 1-formes et leurs associations. 236
16.10 L’opérateur de Hodge. 240
16.11 Quelques applications. 242
17 Théorie des fonctions analytiques. 245
17.1 Introduction. 245
17.2 Les fonctions complexes. 246
17.3 Les fonctions analytiques. 246
17.4 Intégration dans le plan complexe. 247
17.5 Conséquences du Cauchy-Goursat. 250
17.6 Les résidus et leur application à l’intégration. 254
18 Les Transformées de Legendre. 262
18.1 Définition. 262
18.2 Application à travers la physique. 266
19 Intégrale de Lebesgue. 272
19.1 Introduction. 272
19.2 Théorie de la mesure. 274
19.3 L’intégrale de Lebesgue. 276
20 Les intégrales de chemin. 278
20.1 Introduction. 278
20.2 Exemples fondamentaux. 279
20.3 Calcul des intégrales de chemin (I). 281
20.4 Digression sur le mouvement Brownien. 283
20.5 Calcul des intégrales de chemin (II) et les fonctions de Green. 285
20.6 Problèmes. 287
21 Les équations de la physique. 288
21.1 Qu’est ce qu’une équation différentielle ? 288
21.2 Équation de Laplace. 289
21.3 Équation d’onde et de chaleur. 291
22 ’est ce qu’un nombre? 294
22.1 Les entiers naturels N. 294
22.2 Les ensembles Z et Q. 295
22.3 Un peu de topologie. 296
22.4 L’ensemble des nombres réels. 297
22.5 Les nombres paradiques. 300
23 Bibliographie. 302
Index

Mathématique appliquée cours 16

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