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Titre: Signal, Fourier, Image

Auteurs: F. Malgouyres

Ecole/Université: Université de Toulouse

Résumé: La création d’une image numérique est faite par un appareil de mesure (scanner, appareil photo numérique, webcam, barrette CCD, . . . ).Malgré la diversité des appareils de mesure, elle s’écrit (à quelques approximations près) sous la forme d’une unique équation mathématique. Ce sont les éléments mathématiques utiles à l’écriture et à la compréhension de cette équation que nous allons introduire ici. Commençons par définir ce qu’est une image numérique…

Extrait du sommaire:

Table des matières 3
1 Rappels 5
1.1 Quelques sommes particulières 5
1.1.1 Des changements de variables 5
1.1.2 Une somme finie importante 5
1.2 Sommes d’une suite périodique 6
2 La création de l’image numérique 9
2.1 Images numériques 9
2.2 La convolution 10
2.2.1 De fonctions analogiques 10
2.2.2 De suites finies 11
2.3 Le fenêtrage 13
2.4 L’échantillonnage 13
2.5 Le bruit 14
2.6 La quantification 15
2.7 Autres dégradations 15
2.8 Exemple 16
3 La transformée de Fourier 21
3.1 D’une image analogique 21
3.1.1 Définition et premières propriétés 21
3.1.2 Exemple 22
3.1.3 Fourier inverse pour des images analogiques 23
3.1.4 Dérivées partielles et transformée de Fourier 23
3.1.5 Convolution et transformée de Fourier 24
3.1.6 Effet de Gibbs 24
3.1.7 Principe d’incertitude de Heisenberg 26
3.2 D’une suite finie 26
3.2.1 La Fast Fourier Transform (FFT) 28
3.2.2 Convolution et transformée de Fourier 31
3.2.3 échantillonnage et transformée de Fourier 33
3.2.4 Théorème d’échantillonnage de Shannon 37
3.2.5 Bruit et transformée de Fourier 41
4 Quelle base pour représenter des images 43
4.1 Fourier : une base parmi d’autres 43
4.2 Compressibilité et erreur d’approximation 44
4.3 Compressibilité et erreur d’estimation 47
4.3.1 Deux estimateurs oracles 47
4.4 Conclusion sur la compressibilité 49
5 Bases d’ondelettes discrètes 51
5.1 Objectif 51
5.2 Des bancs de filtres aux ondelettes, en dimension 1 51
5.3 Les ondelettes discrètes en dimension 1 54
5.3.1 Ondelettes biorthogonales 54
5.3.2 Ondelettes orthogonales 56
5.3.3 Bases d’ondelettes de niveau quelconque 57
5.3.4 Localisation en espace des éléments de la base d’ondelettes 58
5.3.5 Localisation fréquentielle des éléments de la base d’ondelettes 59
5.4 Les ondelettes discrètes en dimension 2 61
5.5 Choisir une ondelette 63
5.5.1 Le nombre de moments nuls 63
5.5.2 La taille du support de l’ondelette 66
5.5.3 Conclusion 67
6 Les paquets d’ondelettes 69
6.1 Principe des paquets d’ondelettes en dimension 1 69
6.2 Les arbres de paquets d’ondelettes 69
6.3 Localisation des paquets d’ondelettes 72
6.3.1 La localisation spatiale 72
6.3.2 La localisation fréquentielle 72
6.4 Le passage aux dimensions 2 et plus 74
6.5 D’autres bases 74
6.6 Les dictionnaires de paquets d’ondelettes 74
Bibliographie 81

Ondelettes et traitement du signal et d’image 43
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