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Titre: Les ondelettes comme fonctions de base dans le calcul de structures électroniques

Auteurs: Claire Chauvin

Ecole/Université: INPG

Résumé: En mathématiques appliquées, la résolution d’équations aux dérivées partielles occupe une place importante dans les enjeux de la recherche actuelle : celles-ci permettent de modéliser des phénomènes, tant en mécanique, en biologie, en chimie, que dans les sciences géophysiques, et les sciences humaines. L’objectif est autant de prédire, que de comparer les observations et les simulations, permettant ainsi une forte interaction entre théorie et expérience.

D’autre part, cela ne peut se faire sans une efficacité dans la programmation, car les systèmes réels sont très complexes, et nécessitent l’alliance de codes et de machines performants. L’efficacité de la simulation provient du choix de l’algorithme et des outils de représentation du problème, de la programmation en séquentiel dans un langage donné, et enfin de la capacité à paralléliser ce code. En mécanique quantique, les phénomènes sont décrits par la fonction d’onde.

Celle-ci contient toute l’information sur les particules du système, soumises à leurs interactions, et éventuellement à des champs extérieurs. Le comportement de ces particules suit une équation déterministe, dite équation de Schrödinger. L’action sur le système est modélisée par l’opérateur hamiltonien et les fonctions d’onde forment un sous-espace invariant par cet hamiltonien : nous aurons à résoudre un problème aux valeurs propres. La valeur propre associée à une fonction d’onde décrit l’énergie de cetétat. Cependant, lorsque l’on s’intéresse à des systèmes physiques plus gros (plusieurs millions d’atomes), la limitation des ressources et le changement d’échelle des phénomènes observés nous amènent à utiliser d’autres modèles, issus de l’élasticité par exemple, ou de méthodes Monte Carlo.

L’hamiltonien décrit les interactions auxquelles est soumis un système composé de K noyaux et de N électrons. Dans le cas général, ces interactions peuvent être de nature électrostatique et magnétique. Mais nous ne considérerons ici que des interactions purement électrostatiques, et ne prendrons pas en compte le spin, moment magnétique intrinsèque de chaque électron. Déjà, le système est difficile à décrire : il est en effet composé de N +K corps. Nous pouvons définir une fonction d’onde décrivant les N +K particules, mais nous verrons dans le premier chapitre qu’il devient nécessaire de découpler les variables pour aboutir à un modèle soluble numériquement. Nous aboutirons alors à des descriptions avec une interaction moyenne sur chaque électron (ces modèles sont dits de champ moyen). Nous allons donc être confrontés à des choix dans la modélisation du problème, choix qui ne seront pas gratuits du point de vue numérique : d’un système linéaire à N électrons, on aboutit à des modèles non linéaires à un électron, et la complexité de l’algorithme de résolution sera directement liée à
ces formulations.

Extrait du sommaire:

Préambule 17
I Approximations de l’équation de Schrödinger 21
I.1 Quelques principes de mécanique quantique 21
I.1.1) De l’équation d’onde à l’équation de Schrödinger 21
I.1.2) Spectre de l’opérateur hamiltonien H 23
I.1.3) Approximation de Born-Oppenheimer 24
I.1.4) Indiscernabilité des particules 25
I.2 Modèles de détermination de l’état fondamental 26
I.2.1) Modèles de Hartree et Hartree-Fock 27
I.2.2) Modèles de type Thomas-Fermi 32
I.2.3) Théorie de la Fonctionnelle de la densité (DFT) 33
II Théorie de la Fonctionnelle de la Densité 39
II.1 Approximation des potentiels de la DFT 40
II.1.1) Potentiel d’échange-corrélation selon l’approximation de la densité locale
(LDA) 40
II.1.2) Pseudo-potentiels 42
II.2 Bases de projection 43
II.2.1) Orbitales de type Slater ou Gaussienne (STO et GTO) 45
II.2.2) Les ondes planes 47
II.3 Prise en compte des conditions aux limites 49
II.3.1) Méthode en ondes planes 50
II.3.2) Alternative pour une méthode à base d’ondelettes 51
III Approximation dans des bases d’ondelettes 53
III.1 Sur les analyses multirésolutions 54
III.1.1) Construction des ondelettes 56
III.1.2) Régularité et ordre d’une AMR 58
III.1.3) Caractérisation locale des coefficients d’ondelettes 59
III.1.4) Propriétés d’approximation 60
III.2 Des ondelettes orthogonales aux ondelettes interpolantes 62
III.2.1) Ondelettes de Daubechies et Coiflets 62
III.2.2) Construction de familles d’ondelettes interpolantes 66
III.2.3) Schéma d’interpolation de Deslauriers et Dubuc 69
III.2.4) Lifting d’ondelettes 72
III.2.5) Résumé sur les ondelettes utilisées 75
III.3 Ondelettes périodisées en trois dimensions 77
III.3.1) Analyse en ondelettes sur un intervalle borné 77
III.3.2) Ondelettes multidimensionnelles 80
IV Détermination du potentiel électrostatique 3D 85
IV.1 Discrétisations du problème 87
IV.1.1) Méthodes de Galerkin et Petrov-Galerkin 89
IV.1.2) étude du laplacien en base d’ondelettes 90
IV.1.3) étude du préconditionnement en 1D 93
IV.1.4) Résolution de l’équation de Poisson en une dimension – extension au 3D 97
IV.2 Principes de la multigrille 100
IV.2.1) Procédure de lissage 103
IV.2.2) Opérateurs de transfert 104
IV.2.3) Discrétisation de l’opérateur différentiel 105
IV.3 Du multigrille à l’ondelette-multigrille 105
IV.3.1) Algorithme standard 105
IV.3.2) Analyse multirésolution et multigrille 106
IV.3.3) Comparaison entre le V-cycle et la méthode Halfway 107
V Résolution autocohérente deséquations de Kohn et Sham 111
V.1 équations de Kohn et Sham sur le tore T 112
V.1.1) Adimensionnalisation du système 113
V.1.2) Algorithme de résolution 115
V.2 étapes de l’algorithme autocohérent 123
V.2.1) Construction de l’opérateur hamiltonien 123
V.2.2) Matrice de rigidité de l’hamiltonien 125
V.2.3) Détermination des plus petitesénergies propres 131
V.2.4) Calcul de l’énergie totale 136
V.2.5) Arrêt de l’algorithme 137
VI De l’hamiltonien linéaire au modèle de la DFT-LDA 139
VI.1 évaluation de la méthode sur des opérateurs linéaires 139
VI.1.1) L’oscillateur harmonique 140
VI.1.2) L’atome d’hydrogène 150
VI.1.3) Résolution de l’équation de Schrödinger pour l’hydrogène 155
VI.2 Résolution du système autocohérent 156
VI.2.1) Comportement au cours des itérations 156
VI.2.2) Analyse de la compressibilité des orbitales 159
VI.2.3) Simulation d’atomes 164
Conclusion 171
A Opérateurs de changements de base 173
B Filtres d’ondelette 1d 181
C Implémentation de la transformée en ondelettes 3D 185 11

Ondelettes et traitement du signal et d’image 28

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